Рассмотрим тригонометрические системы двух уравнений с двумя неизвестными. Методы решения таких систем и различные специальные приёмы изучим сразу на конкретных примерах.
Может случиться, что одно из уравнений системы содержит тригонометрические функции от неизвестных x и y, а другое уравнение является линейным относительно x и y. В таком случае действуем очевидным образом: одну из неизвестных выражаем из линейного уравнения и подставляем в другое уравнение системы.

Задача 1. Решить систему:

Решение. Из первого уравнения выражаем y через х:

         у = π – х,

и подставляем во второе уравнение:

Получилось простейшее тригонометрическое уравнение относительно х. Его решения запишем в виде двух серий:                          

         Остается найти соответствующие значения у:

Как всегда в случае системы уравнений, ответ дается в виде перечисления пар .

Ответ:

Обратите внимание, что х и y связаны друг с другом посредством целочисленного параметра n. А именно, если в выражении для x стоит , то в выражении для у автоматически появляется , причем с тем же самым  n. Это – следствие «жесткой» зависимости между х и y, задаваемой уравнением

Задача 2. Решить систему:

Решение: Здесь имеет смысл сначала преобразовать первое уравнение системы:

Таким образом, наша система равносильна следующей системе:

Подставляем  в первое уравнение:

В результате приходим к системе:

Складываем эти уравнения, делим на 2 и находим x;

вычитаем из первого уравнения второе, делим на 2 и находим y:

Ответ: , .

В ряде случаев тригонометрическую систему удается свести к системе алгебраических уравнений подходящей заменой переменных.

Задача 3. Решить систему:

Решение. Замена u = sin x, v = cos y приводит к алгебраической системе относительно u и v:

Эту систему вы без труда решите самостоятельно. Решение единственно: u = 1, v = 0. Обратная замена приводит к двум простейшим тригонометрическим уравнениям:

откуда

Ответ:

Теперь в записи ответа фигурируют два целочисленных параметра k и n. Отличие от предыдущих задач состоит в том, что в данной системе отсутствует «жесткая» связь между x и y в гораздо большей степени независимы друг от друга.

В данном случае было бы ошибкой использовать лишь один целочисленный параметр n, записав ответ в виде  Это привело бы к потере бесконечного множества решений системы. Например, потерялось бы решение  возникающее при k = 1 и  n = 0.

Задача 4. Решить систему:

Решение. Преобразуем сначала второе уравнение:

Теперь делаем замену: u = sin x, v = sin y. Получим систему:

Решениями этой системы служит две пары:  Остается сделать обратную замену:

               или     

и записать ответ.

Ответ:

Задача 5. Решить систему:

Решение. Здесь для получения алгебраической системы нужно поработать еще больше. Первое уравнение нашей системы запишем в виде:

Во втором уравнении имеем:

Таким образом, исходная система равносильна системе:

Делаем замену

и получаем алгебраическую систему:

Решениями этой системы служит две пары:

Первая пара дает систему:

            ⇔      .

Отсюда

Вторая пара дает систему:

            ⇔    .

Отсюда

Ответ:  .

Однако свести систему тригонометрических уравнений к системе алгебраических уравнений удается далеко не всегда. В ряде случаев требуется применять различные специальные приемы.

Иногда удается упростить систему путем сложения или вычитания уравнений.

Задача 6. Решить систему:

Решение. Складывая и вычитая эти уравнения, получим равносильную систему:

А эта система, в свою очередь, равносильна совокупности двух систем:                

Отсюда

Ответ:,